\section{初等矩阵}

%\begin{frame}{矩阵单位}
%
%最简单的非零矩阵为矩阵单位$e_{ij}$,
%其$(i,j)$元素为$1$, 其余元素为$0$. 
%任意的矩阵$A=(a_{ij})\in P^{m\times n}$
%是$m\times n$矩阵单位的线性组合，因为
%\[
%  \begin{aligned}
%      A&= a_{11}e_{11}+a_{12}e_{12}+\cdots  + a_{1n}e_{1n}\\
%        &\quad + a_{21}e_{21}+a_{22}e_{22}+\cdots+a_{2n}e_{2n}\\
%          &\quad + \cdots \\
%            &\quad + a_{m1}e_{m1}+a_{m2}e_{m2}+\cdots + a_{mn}e_{mn}\\
%              &= \sum_{i,j} a_{ij}e_{ij}.
%              \end{aligned}
%          \]
%        若$A'=(a_{ij}')$为同型矩阵，则$A=A'$当且仅当$a_{ij}=a_{ij}'$, 对任意的$i,j$. 
%      换言之，$\sum_{i,j}a_{ij}e_{ij}=\sum_{i,j}a_{ij}'e_{ij}$当且仅当$a_{ij}=a_{ij}'$,
%    对任意的$i,j$. 这个相当于说这些$e_{ij}\in P^{m\times n}$ ($1\leqslant i\leqslant m, 1\leqslant j\leqslant n$) 是线性无关的。
%\end{frame}


\begin{frame}{初等矩阵}

本节中我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩阵的方法。

\pause
\begin{definition}%定义10 
  由单位矩阵 $ E$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为\emph{初等矩阵}。
\end{definition}

\pause
显然， 初等矩阵都是方阵， 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵。 
\pause
互换矩阵 $E$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行的位置， 得
    \[
\vcenter{\hbox{ 
\begin{tikzpicture}
      \matrix (m) [matrix of math nodes, nodes in empty cells, ampersand replacement=\&, left delimiter=(,right delimiter=)]
    {
      1 \& \&\&\&\&\&\\
      \& \ddots \&\&\&\&\&\\
      \&\& 0 \&\&1\&\& \phantom{0}\\
      \&\&\& \ddots \&\&\&\\
      \&\&1\&\& 0 \&\& \phantom{0}\\
      \&\&\&\&\& \ddots \&\\
      \&\&\&\&\&\& 1 \\
    };
    \node [right=of m-3-7,xshift=-2em] (m37) {第$j$行};
    \node [right=of m-5-7,xshift=-2em] (m57) {第$i$行};
\end{tikzpicture}}},
  \]
用数域 $P$ 中非零数 $c$ 乘 $E$ 的第 $i$ 行， 有
\end{frame}

\begin{frame}
\[
\vcenter{\hbox{ 
\begin{tikzpicture}
      \matrix (m) [matrix of math nodes, nodes in empty cells, ampersand replacement=\&, left delimiter=(,right delimiter=)]
    {
              1 \& \& \& \& \& \& \\
              \& \ddots \& \& \& \& \&\\
              \& \& 1 \& \&\&\&\\
              \&\&\& c \&\&\&\phantom{0} \\
              \&\&\&\& 1 \&\&\\
              \&\&\&\&\& \ddots \& \\
              \&\&\&\&\&\& 1 \\
    };
    \node [right=of m-4-7,xshift=-2em] (m47) {第$i$行};
\end{tikzpicture}}},
\]
\pause
把矩阵 $ E$ 的第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行， 有
\[
        \vcenter{\hbox{ 
    \begin{tikzpicture}
      \matrix (m) [matrix of math nodes, nodes in empty cells, ampersand replacement=\&, left delimiter=(,right delimiter=)]
    {
            1 \& \&\&\&\&\&\\
            \& \ddots \&\&\&\&\&\\
            \&\& 1 \&\& a\&\& \\
            \&\&\& \ddots \&\&\&\\
            \&\&\&\& 1 \&\&\\
            \&\&\&\&\& \ddots \&\\
            \&\&\&\&\&\& 1 \\ 
    };
    \node [right=of m-3-7,xshift=-2em] (m37) {第$i$行};
    \node [right=of m-5-7,xshift=-2em] (m57) {第$j$行};
\end{tikzpicture}
        }}
          \quad \text{或}\quad
         \vcenter{\hbox{ 
\begin{tikzpicture}
      \matrix (m) [matrix of math nodes, nodes in empty cells, ampersand replacement=\&, left delimiter=(,right delimiter=)]
    {      
            1 \& \&\&\&\&\&\\
            \& \ddots \&\&\&\&\&\\
            \&\& 1 \&\&\&\& \\
            \&\&\& \ddots \&\&\&\\
            \&\& a \&\& 1 \&\&\\
            \&\&\&\&\& \ddots \&\\
            \&\&\&\&\&\& 1 \\
    };
    \node [right=of m-3-7,xshift=-2em] (m37) {第$j$行};
    \node [right=of m-5-7,xshift=-2em] (m57) {第$i$行};
\end{tikzpicture}
        }}.
      \]
    \pause
同样可以得到与列变换相应的初等矩阵。 
\pause
应该指出，对单位矩阵作一次初等列变换所得到的矩阵也包括在上面列举的这三类矩阵之中。%譬如说，把 $ E$ 的第 $i$ 列的 $k$ 倍加到第 $j$ 列，我们仍然得到 $ P(i, j(k))$. 
因之，这三类矩阵就是全部的初等矩阵。
\end{frame}

\begin{frame}
利用矩阵乘法的定义， 立即可以得到



\begin{lemma}%引理 
  对一个 $s \times n$ 矩阵 $A$ 作一初等行变换就相当于在 $A$ 的左边乘\emph{相应的} $s \times s$ 初等矩阵，对 $A$ 作一初等列变换就相当于在 $A$ 的右边乘\emph{相应的} $n \times n$ 初等矩阵。
\end{lemma}

\pause

\begin{proof}
我们只看行变换的情形，列变换的情形可同样证明。 令 $ B=\left(b_{i j}\right)$ 为任意一个 $s \times s$ 矩阵， $ A_{1},  A_{2}, \cdots,  A_{s}$ 为 $ A$ 的行向量。 由矩阵的分块乘法， 得
\[
   B  A=\begin{pmatrix}
  b_{11}  A_{1}+b_{12}  A_{2}+\cdots+b_{1 s}  A_{s} \\
%b_{21}  A_{1}+b_{22}  A_{2}+\cdots+b_{2 s}  A_{s} \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
b_{s 1}  A_{1}+b_{s 2}  A_{2}+\cdots+b_{s s}  A_{s}
\end{pmatrix},
\]
特别地，取$B$为三类初等矩阵，即可验证断言。
%特别， 令 $ B= P(i, j)$, 得
%这相当于把 $ A$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行互换。 令 $ B= P(i(c))$,得
%\[
%  P(i(c)) A=\begin{pmatrix}
%   A_{1} \\
%\vdots \\
%c A_{i} \\
%\vdots \\
%A_{s}
%\end{pmatrix} \text { 第 } i \text { 行， }
%\]
%这相当于用 $c$ 乘 $ A$ 的第 $i$ 行。 令 $ B= P(i, j(k))$,得
%\[
%  P(i, j(k))  A=\begin{pmatrix}
%   A_{1} \\
%\vdots \\
% A_{i}+k  A_{j} \\
%\vdots \\
% A_{j} \\
%\vdots \\
% A_{j}
%\end{pmatrix} \text { 第 } i \text { 行 }
%\]
%这相当于把 $ A$ 的第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行。
\end{proof}

\pause
容易发现
  \begin{observation*}
  初等矩阵都是可逆的， 它们的逆矩阵还是初等矩阵，是对应于逆变换的初等矩阵。
\end{observation*}
显然，$r_i\leftrightarrow r_j$, $r_i\times c$, $r_i+r_j\times a$的逆变换分别为
$r_i\leftrightarrow r_j$, $r_i\times \frac{1}{c}$, $r_i-r_j\times a$. 故
%事实上
%\[
% P(i, j)^{-1}= P(i, j), \quad  P(i(c))^{-1}= P\left(i\left(c^{-1}\right)\right), \quad  P(i, j(k))^{-1}= P(i, j(-k)) .
%\]

%初等矩阵的逆是对应于逆行变换的初等矩阵：
%  \begin{enumerate}
%    \item 若用$Q$左乘实现了``交换行$i$和行$j$'', 则$Q^{-1}=Q$, 即还是``\textit{交换行$i$和行$j$}'';
%    \item 用$Q=a+(c-1) e_{ij}$左乘实现了``用$c$乘行$i$''，故$Q^{-1}=E+(c^{-1}-1)e_{ii}$, 即``\textit{用$c^{-1}$乘$\text{行}~i$}'';
%    \item 用$Q=E+ae_{ij}$左乘实现了``从行$i$加上$a\cdot (\text{行~} j)$'', 故$Q^{-1}=E-ae_{ij}$, 即``\textit{从$(\text{行}~i)$减去$a\cdot (\text{行}~j)$}''.
%\end{enumerate}

\end{frame}

\begin{frame}{}
  \small
    \[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
            1 &&&&&&\\
            & \ddots &&&&&\\
            && 0 &&1&&\\
            &&& \ddots &&&\\
            &&1&& 0 && \\
            &&&&& \ddots &\\
            &&&&&& 1
          \end{pmatrix}^{-1}&= \text{~该矩阵自己},\\
          \pause
          \begin{pmatrix}
              1 & & & & & & \\
              & \ddots & & & & &\\
              & & 1 & &&&\\
              &&& c &&&\\
              &&&& 1 &&\\
              &&&&& \ddots & \\
              &&&&&& 1
            \end{pmatrix}^{-1} &= 
          \begin{pmatrix}
              1 & & & & & & \\
              & \ddots & & & & &\\
              & & 1 & &&&\\
              &&& c^{-1} &&&\\
              &&&& 1 &&\\
              &&&&& \ddots & \\
              &&&&&& 1
            \end{pmatrix},\\
            \pause
\begin{pmatrix}
            1 & &&&&&\\
            & \ddots &&&&&\\
            && 1 && a && \\
            &&& \ddots &&&\\
            &&&& 1 &&\\
            &&&&& \ddots &\\
            &&&&&& 1
          \end{pmatrix}^{-1}&= 
\begin{pmatrix}
            1 & &&&&&\\
            & \ddots &&&&&\\
            && 1 && -a && \\
            &&& \ddots &&&\\
            &&&& 1 &&\\
            &&&&& \ddots &\\
            &&&&&& 1
          \end{pmatrix}.
\end{aligned}
\]

\end{frame}

\begin{frame}{矩阵的等价}
在第二章 \S5 我们看到，用初等行变换可以化简矩阵。如果同时用行与列的初等变换，那么矩阵还可以进一步化简。
\pause
为了方便，我们引入



\begin{definition}%定义11 
  矩阵 $ A$ 与 $ B$ 称为\emph{等价}的， 如果 $ B$ 可以由 $ A$ 经过一系列初等变换得到。
\end{definition}

\pause
等价是矩阵间的一种关系。不难证明，它具有自反性、对称性与传递性，因而是等价关系。


\pause
\begin{theorem}%定理5 
任意一个 $s \times n$ 矩阵 $ A$ 都与一形式为
%\[
%  \begin{pmatrix}
%  1 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
%0 & 1 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
%\vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\
%0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\
%0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
%\vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\
%0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0
%\end{pmatrix} = 
 $ \begin{pmatrix}
  E_r \\ & 0
\end{pmatrix}$
%\]
的矩阵等价， 它称为矩阵 $ A$ 的\emph{标准形}， 主对角线上 $1$ 的个数等于 $ A$ 的秩 ($1$ 的个数可以是零)。
特别地，一矩阵的标准形是唯一的。
\end{theorem}


\pause
\begin{proof}
  我们知道矩阵$A$可以行化简至既约的阶梯形。容易发现，接着对既约的阶梯形做列化简可变成形如  $\begin{pmatrix}
  E_r \\ & 0
\end{pmatrix}$，且其中的$r$就是$A$的既约的阶梯形中主元的个数，也是该矩阵的秩。
%如果 $ A= O$, 那么它已经是标准形了。 以下无妨假定 $ A \neq  O$. 经过初等变换， $ A$一定可以变成一左上角元素不为零的矩阵。
%
%当 $a_{11} \neq 0$ 时，把其余的行减去第一行的 $a_{11}^{-1} a_{i 1}(i=2,3, \cdots, s)$ 倍， 其余的列减去第一列的 $a_{11}^{-1} a_{1 j}(j=2,3, \cdots, n)$ 倍。然后， 用 $a_{11}^{-1}$ 乘第一行， $ A$ 就变成
%\[
%  \begin{pmatrix}
%  1 & 0 & \cdots & 0 \\
%0 & & & \\
%\vdots & & A_{1} & \\
%0 & & &
%\end{pmatrix} .
%\]
%$A_{1}$ 是一个 $(s-1) \times(n-1)$ 的矩阵。 对 $ A_{1}$ 再重复以上的步骤， 这样下去就可得出所要的标准形。
%
%显然，标准形矩阵的秩就等于它主对角线上 1 的个数。 而初等变换不改变矩阵的秩，所以 1 的个数也就是矩阵 $ A$ 的秩。 
\end{proof}

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}%例1 
  用初等变换将矩阵
\[
   A=\begin{pmatrix}
  1 & 1 & 3 & 1 \\
1 & 3 & 2 & 5 \\
2 & 2 & 6 & 7 \\
2 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix}
\]
化为标准形：
\pause
\[
  \begin{aligned}
     A & \longrightarrow\begin{pmatrix}
      1 & 1 & 3 & 1 \\
    0 & 2 & -1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 5 \\
0 & 2 & -1 & 4
\end{pmatrix} \longrightarrow\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 5 \\
0 & 2 & -1 & 4
\end{pmatrix} \longrightarrow\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \\
& \longrightarrow\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \longrightarrow\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \longrightarrow\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
\]
\end{example}
\pause
事实上，由于矩阵$A$的标准形$\begin{pmatrix}
  E_r\\ & 0
\end{pmatrix}$中$r$等于$A$的秩，只用把$A$行化简到阶梯形数下非零行的个数就可以确定标准形了。
\end{frame}

\begin{frame}{可逆矩阵的刻画与求逆}

根据引理， 对一矩阵作初等变换就相当于用相应的初等矩阵去乘这个矩阵。 
因此，矩阵 $ A,  B$ 等价的充分必要条件是有初等矩阵 $ P_{1}, \cdots,  P_{1},  Q_{1}, \cdots,  Q_{t}$, 使
\begin{equation*}
 A= P_{1}  P_{2} \cdots  P_{l}  B  Q_{1}  Q_{2} \cdots  Q_{t} \tag{1}
\end{equation*}

\pause
$n$ 阶可逆矩阵的秩为 $n$, 所以可逆矩阵的标准形为单位矩阵; 反过来显然也是对的。这样，\emph{方阵$A$可逆当且仅当其标准形为单位矩阵}。
\pause
由 (1) 即得

\begin{theorem}%定理6 
$n$ 阶矩阵 $A$ 为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：
\begin{equation*}
A=Q_{1} Q_{2} \cdots Q_{m} . \tag{2}
\end{equation*}
\end{theorem}

\pause
由此即得

\begin{corollary}%推论1 
两个 $s \times n$ 矩阵 $A, B$ 等价的充分必要条件为，存在可逆的 $s$ 阶矩阵 $ P$ 与可逆的 $n$ 阶矩阵 $ Q$ 使
\[
A=P B Q .
\]
\end{corollary}

把 (2)改写一下，有
\begin{equation*}
  Q_{m}^{-1} \cdots Q_{2}^{-1} Q_{1}^{-1} A=E. \tag{3}
\end{equation*}
\end{frame}


\begin{frame}

因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵， 同时在矩阵 $ A$ 的左边乘初等矩阵就相当于对 $ A$作初等行变换，所以 (3) 说明了

\begin{corollary}%推论2 
  \label{13D}
可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。 
\end{corollary}

\pause
以上的讨论提供了一个求逆矩阵的方法。 设 $A$ 是一 $n$ 阶可逆矩阵。
由推论~\ref{13D}, 
有一系列初等矩阵 $ P_{1}, \cdots,  P_{m}$ 使
\begin{equation*}
P_{m} \cdots P_{1} A=E \tag{4}
\end{equation*}
由 (4) 即得
\begin{equation*}
A^{-1}=P_{m} \cdots P_{1}=P_{m} \cdots P_{1} E . \tag{5}
\end{equation*}
\pause
(4), (5) 两个式子说明， 如果用一系列初等行变换把可逆矩阵 $ A$ 化成单位矩阵，
那么同样地用这一系列初等行变换去化单位矩阵，就得到 $ A^{-1}$.
按矩阵的分块乘法， (4), (5) 可以合并写成
\[\tag{6}
  P_m \cdots P_1\begin{pmatrix}
    A & E
  \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
    P_m \cdots P_1 A & P_m \cdots P_1
  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
    E & A^{-1}
  \end{pmatrix}.
\]

(6) 式提供了一个具体求逆矩阵的方法。
\pause
作 $n \times 2 n$ 矩阵 $\begin{pmatrix}A \quad E\end{pmatrix}$, 
用初等行变换把它的左边一半化成 $E$, 这时， 右边的一半就是 $A^{-1}$.
\pause
当然，同样可以证明，可逆矩阵也能用初等列变换化成单位矩阵，这就给出了用初等列变换求逆矩阵的方法。
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{example}%例2
    令$\small
  A=\begin{pmatrix}
    0 & 1 & 2 \\
  1 & 1 & 4 \\
2 & -1 & 0
\end{pmatrix}.$
我们行化简$\begin{pmatrix}
      A & E
  \end{pmatrix}$来求$A^{-1}$:
  \[\small
    \begin{aligned}
        & \left(\begin{array}{rrr|rrr}
                0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
                  1 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\
                  2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1
              \end{array}\right) \xrightarrow{r_1\leftrightarrow r_2}\left(\begin{array}{rrr|rrr}
                  1 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\
                0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
              2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1
        \end{array}\right) \xrightarrow{r_3-2r_1}\\
        \pause
        & \left(\begin{array}{rrr|rrr}
            1 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\
          0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
        0 & -3 & -8 & 0 & -2 & 1
  \end{array}\right) \xrightarrow{r_3+3r_2}
  \left(\begin{array}{rrr|rrr}
      1 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\
    0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & -2 & 3 & -2 & 1
\end{array}\right)\xrightarrow[r_1+2r_3]{r_2+r_3}\\
\pause
& 
\left(\begin{array}{rrr|rrr}
      1 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\
    0 & 1 & 0 & 4 & -2 & 1 \\
  0 & 0 & -2 & 3 & -2 & 1
\end{array}\right) 
\xrightarrow{r_1+2r_3} 
\left(\begin{array}{rrr|rrr}
    1 & 1 & 0 & 6 & -3 & 2 \\
  0 & 1 & 0 & 4 & -2 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 3 & -2 & 1
\end{array}\right)\xrightarrow{r_1-r_2} \\
\pause
& \left(\begin{array}{rrr|rrr}
    1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 1 \\
  0 & 1 & 0 & 4 & -2 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 3 & -2 & 1
\end{array}\right) \xrightarrow{r_3\times \left( -\frac{1}{2} \right)}
\left(\begin{array}{rrr|rrr}
    1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 1 \\
  0 & 1 & 0 & 4 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -\frac{3}{2} & 1 & -\frac{1}{2}
\end{array}\right) .
\end{aligned}
\]
于是
\[\small
   A^{-1}=\begin{pmatrix}
      2 & -1 & 1 \\
      4 & -2 & 1 \\
    -\frac{3}{2} & 1 & -\frac{1}{2}
\end{pmatrix}.
\]
\end{example}

\end{frame}


\begin{frame}{初等变换的应用的更多例子}
  初等变换无论在计算还是理论上都是基本的。
  我们这门课中很多具体的计算（如计算行列式、解线性方程组、找向量组的极大线性无关组、求秩、求可逆矩阵的逆）都归结为化简。
  另一方面，我们之前讲的一些结论可通过化简来证明。下面我们再来举几个例子。
\pause
  \begin{theorem*}
    对同阶方阵$A$和 $B$, $|AB|=|A||B|$.
  \end{theorem*}
\pause
  \begin{proof}
    容易发现，初等变换对行列式的效果可用矩阵的形式写出来：
    若$Q\in P^{n\times n}$是初等矩阵，$M\in P^{n\times n}$, 则 
    \[
      |QM|=|Q||M|.
    \]
  （三类初等矩阵的行列式是？）
  进而易归纳得：若$Q_1, \cdots, Q_k$为初等矩阵，则$|Q_k\cdots Q_1 M| =|Q_k| \cdots |Q_1| |M|$.
  \pause
    考虑$A\in P^{n\times n}$. 注意到：
    若$n$阶方阵$M$是既约的阶梯形，则要么$M$是单位矩阵，要么$M$的最后一行为零行；
    \pause
   因为若$M$的最后一行不是零行，则主元有$n$个，从而占满所有列，这样$M$是单位矩阵。
   \pause
   特别地，$A$的既约的阶梯形$A'$是如此。存在初等矩阵$Q_1,\ldots, Q_k$使得$A=Q_k\cdots Q_1 A'$. 
   \pause
   若$A'=E$, 则$A=Q_k\cdots Q_1$, 从而
   \[
   \begin{aligned}
      |A| =  |Q_k|\cdots |Q_1|,\quad
       |AB| =|Q_k|\cdots |Q_1||B|=|A||B|;
   \end{aligned}
 \]
 若$A'$最后一行为零，则$|A|=|Q_k|\cdots |Q_1| |A'|=0$, 且$A'B$的最后一行也是零，亦有$|AB|=|Q_k|\cdots |Q_1||A'B|=0$. 
\pause
   因此，我们总有$|AB|=|A||B|$.
  \end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{theorem*}
    \[\rank AB\leqslant \min\{\rank A, \rank B\}.\]
  \end{theorem*}
  \pause
  \begin{proof}
    在上一章我们已知初等变换不改变秩（注意我们在重新证明，要避免循环论证）。
    存在初等矩阵$P_1,\cdots,P_k$使得$P_k\cdots P_1 A$为阶梯形矩阵，因而只有$r=\rank A$个非零行。
    这样$P_k\cdots P_1 AB$至多只有$r$个非零行。进而
    \[
      \rank (AB) =\rank (P_k \cdots P_1 AB)\leqslant r=\rank A.
    \]
    借助转置可以得到$\rank AB\leqslant \rank B$. 
  \end{proof}

  \pause
  我们来从矩阵运算的角度看上一章讲的初等变换解线性方程组、找向量组的线性关系。


  首先，我们用矩阵的语言来写下初等变换不改变线性方程组的解集的证明
  (第三章引理~\ref{133})。
  显然，不断地做初等行变换化简增广矩阵解线性方程组$AX=\beta$相当于
  左乘可逆矩阵$P$来解$PAX=P\beta$. 当然，化简的目标是$P\begin{pmatrix}
    A & \beta
  \end{pmatrix}$为阶梯形矩阵。
  由$P$可逆易知$AX=\beta$与$PAX=P\beta$同解：
  若$X_0$为$AX=\beta$的解，即$AX_0=\beta$, 则$PAX_0=P\beta$, 即$X_0$为$PAX=P\beta$的解；
  反过来，若$X_0$为$PAX=P\beta$的解，即$PAX_0=P\beta$, 
  则左乘$P^{-1}$得$AX_0=\beta$, 即$X_0$为$AX=\beta$的解。
\end{frame}

\begin{frame}

  解线性方程组时列化简也是可以的。考虑线性方程组$AX=\beta$. 令$P, Q$为可逆矩阵。
  令$A' = PAQ, \beta'=P\beta$. 考虑线性方程组$A'X'=\beta'$. 
  易知$AX=\beta$有解当且仅当$A'X'=\beta'$有解，且若$A'X'=\beta'$为$W$,
  则$AX=\beta$的解集为$\{QX_0\mid X_0\in W\}$.
  在讨论某些带参数的线性方程组时列化简系数矩阵也许能带来方便。


  \pause
  再来看行化简后新矩阵的列向量组与原矩阵的列向量组有相同的线性关系这个事实 
  (第三章命题~\ref{198})。
  对$A=\begin{pmatrix}
    \alpha_1 & \cdots & \alpha_n
  \end{pmatrix}$行化简相当于左乘一可逆矩阵$P$. 由分块乘法知化简得
  \[
    A'=\begin{pmatrix}
    P\alpha_1 & \cdots & P\alpha_n
  \end{pmatrix}. 
\]
易知向量组$\alpha_1,\cdots,\alpha_n$与向量组$P\alpha_1,\cdots,P\alpha_n$有相同的线性关系：
令$0=\sum_{i=1}^n c_i \alpha_i$. 左乘$P$得$0=P\sum_{i=1}^n c_i \alpha_i=\sum_{i=1}^n c_i P\alpha_i$;
反过来，令$0=\sum_{i=1}^n c_i P\alpha_i$. 左乘$P^{-1}$得$0=P^{-1}\sum_{i=1}^n c_i P\alpha_i=\sum_{i=1}^n c_i \alpha_i$.
\end{frame}


\begin{frame}
\pause
注意到$A$可逆时我们可以通过行化简$\begin{pmatrix}
  A & C
\end{pmatrix}$来求$A^{-1}C$, 通过列化简$\begin{pmatrix}
  A \\D
\end{pmatrix}$来求$DA^{-1}$, 
\pause
因为$\begin{pmatrix}
  A & C
\end{pmatrix}$可行化简至$\begin{pmatrix}
  E & A^{-1}C
\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}
  A \\D
\end{pmatrix}$可列化简至$\begin{pmatrix}
    E \\DA^{-1}
\end{pmatrix}$.
  考虑矩阵方程$AXB=C$, 其中$A, B$都是可逆矩阵，
  易知$AXB=C$有唯一解为$X=A^{-1}CB^{-1}$. 
  可以化简求出此唯一解。

\begin{exercise}%[{\cite[P119, 9(3)]{zhang98}}]
  解矩阵方程$AXB=C$, 其中 %\marginpar{\parencite[\nopp 3.9(3)]{zhang98}}
  \[
    A=\begin{pmatrix}
      2 & -3 & 1 \\
      4 & -5 & 2\\
      5 & -7 & 3
    \end{pmatrix},\quad B=
    \begin{pmatrix}
      9 & 7 & 6 \\
      1 & 1 & 2\\
      1 & 1 & 1
    \end{pmatrix},\quad C=
    \begin{pmatrix}
      2 & 0 & -2\\
      18 & 12 & 9\\
      23 & 15 & 11
    \end{pmatrix}.
  \]
\end{exercise}


\end{frame}


\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 何为初等矩阵？何为一初等变换相应的初等矩阵？
    \item 初等变换如何用矩阵乘法实现？
    \item 初等矩阵的逆矩阵为？
    \item 何为矩阵的等价？何为一矩阵的标准形？如何确定标准形？
    \item 试总结矩阵可逆性的刻画。
    \item 如何通过初等变换求可逆矩阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$? 如何通过化简求$A^{-1}B$, $BA^{-1}$?
  \end{enumerate}
\end{frame}
